Simulation numérique de la formation d'un dépôt de particules sur une surface poreuse. Application à la filtration d'arrêt

Abstract

L'écoulement de Stokes à travers un dépôt constitué par l'empilement de particules sur une surface poreuse, rencontré en filtration, est classiquement modélisé par la loi de Darcy. Cependant, l'effet de singularités géométriques sur l'interface dépôt-surface poreuse met en défaut le modèle de Darcy lorsque la taille caractéristique des pores de la surface, est de l'ordre de la taille des grains ou des pores du dépôt (pas de séparation des échelles). Tout d'abord, lorsque la séparation des échelles est assurée, la perméabilité apparente de la couche de particules est calculée numériquement par la résolution semi-analytique de l'équation de Darcy en faisant l'hypothèse que la couche de particules a une épaisseur uniforme. Des corrélations simples sont établies entre la perméabilité apparente, la hauteur de la couche de particules et la porosité de la paroi filtrante. Ensuite, pour s'affranchir de l'hypothèse d'épaisseur uniforme, l'accumulation progressive des particules sur la surface poreuse a été simulée. Aux temps courts, les résultats mettent en évidence, pour un même volume déposé et une même porosité de paroi, une perméabilité apparente plus faible que dans le cas d'une couche de particules d'épaisseur uniforme. Aux temps longs, les perméabilités apparentes des dépôts uniforme et non uniforme sont identiques. Puis, une étude comparative des modèles de Brinkman et de Stokes pour calculer la perméabilité apparente d'un empilement régulier de cylindres a été effectuée. La résolution des équations de Stokes a été réalisée par une méthode originale d'éléments frontières spectraux. Contrairement à la perméabilité apparente évaluée par le modèle de Darcy, la perméabilité apparente évaluée avec le modèle de Brinkman est sensible à la compacité du dépôt. Elle rend compte notamment de la compétition entre la résistance hydraulique due aux particules et celle due au frottement sur la paroi. Finalement, lorsqu'il n'y a pas séparation des échelles, la modélisation de la formation d'un dépôt de particules sphériques a été mise en oeuvre par la simulation de la formation de la formation d'un dépôt en trois dimensions par l'équation de Brinkman. Cette méthode consiste à lâcher une par une des particules dans le domaine. Les particules suivent les lignes de courant jusqu'à leur immobilisation lorsqu'elles entrent en contact avec la paroi ou une autre particule déjà déposée. L'écoulement, dans le domaine fluide faiblement concentré en particules et au sein de la couche de particules déposées, est recalculé par l'équation de Brinkman après chaque dépôt de particule. Cette approche semble être un bon compromis entre les approches simplistes du point de vue hydrodynamique et les approches plus rigoureuses de type simulation numérique directe car elle permet de prendre en compte l'influence des particules sur l'écoulement. L'étude préliminaire a permis d'évaluer l'influence de la taille des particules et des pores de la paroi sur des paramètres macroscopiques telle que l'évolution du débit en fonction du volume déposé, de la compacité moyenne du dépôt et de l'efficacité de filtration.