Systèmes linéaires invariants en temps de dimension infinie : un aperçu

Abstract

Un système linéaire invariant en temps (continu) $\Sigma$ décrit l'évolution d'un système dynamique linéaire, et dont la dynamique est statique. À une donnée initiale $z_0$ et une entrée $u(\cdot)_{|[0,t]}$, elle fait correspondre un état courant $z(t)$ et une sortie $y(\cdot)_{|[0,t]}$. C'est une modélisation bien connue en automatique, c'est-à-dire quand les espaces vectoriels sous-jacents (où ``vivent'' $u(t)$, $z_0$, $z(t)$, et $y(t)$ pour tout $t\ge 0$) sont de dimension finie. En particulier, un résultat classique nous dit qu'il existe quatre matrices $A$, $B$, $C$, et $D$, de dimensions appropriées, telles que l'on ait la représentation d'état $$\left\lbrace\begin{array}{l}\dot z(t) = A z(t) + B u(t), \Forall t\ge 0,\\y(t) = C z(t) + D u(t), \Forall t\ge 0,\end{array}\right.$$où $\dot z$ désigne la dérivée temporelle de $z$. Équations que l'on complète par la donnée initiale $z(0) = z_0$.\\Dans cette présentation, nous parlerons de la généralisation de ces systèmes et des concepts de contrôlabilité/stabilisabilité et d'observabilité/détectabilité qui sous-tendent l'existence d'observateurs (en horizon infini) lorsque l'on s'intéresse à des espaces de Hilbert en toute généralité. En effet, il s'agit du cadre classique de la réécriture d'un grand nombre d'équations aux dérivées partielles (linéaires) sous la forme qui nous intéresse.